arctanx是单调递增的证明

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证明:设函数f(x)=arctanx，g(x)=x，x＞0

f(0)=0，g(0)=0

f'(x)=1/(1+x²)＞0，g'(x)=1＞0

f'(x)-g'(x)=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)≤0

即f'(x)≤g'(x)

因为[0，+∞)上f(x)与g(x)单调递增且f'(x)≤g'(x)

所以x>arctan(x)

则arctanx/x<1恒成立

1、函数单调性的判断方法:

(1)证明一个函数的单调性的方法：定义法，导数法

(2)判断一个函数的单调性的常用方法：定义法，导数法，图象法，化归常见函数法，运用复合函数单调性规律。

2、函数单调性证明步骤:首先对函数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增函数，小于零是减函数。

3、常用复合函数单调性规律：

(1)若函数f(x)，g(x)在区间D上均为增(减)函数，则函数f(x)+g(x)在区间D上仍为增(减)函数。

(2)若函数f(x)在区间D上为增(减)函数，则函数-f(x)在区间D上为减(增)函数。

(3)复合函数f[g(x)]的单调性的判断分两步：Ⅰ考虑函数f[g(x)]的定义域Ⅱ利用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确定函数f[g(x)]的单调性，法则是“同增异减”，即内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性相反时为减函数。

arctanx是单调递增的证明

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