矩阵a与其逆矩阵是否相等的探讨

矩阵A与其逆矩阵相等

则A^2=E(矩阵A的平方等于单位阵)，矩阵A的特征值的平方等于1，设a是A的任意特征值，x是对应特征向量，则

Ax=ax，x=aA^-1x，x=aAx，x=a^2x，a^2=1

该类矩阵好象没有什么学名，可称为幂幺矩阵。

例如：

A^{-1}=A <=> A^2=I

从相似标准型考察可以知道A可对角化，且特征值是1或-1，所以A具有如下形式

A=P*D*P^{-1}

其中D是以1和-1为对角元的矩阵。不难验证这个是充要条件。

扩展资料：

（1）逆矩阵的唯一性

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m

对n阶方阵A，若r(A)=n，则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵