正三棱锥外接圆推导

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三棱锥的外接球半径公式：R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2-b^2)。其中a为侧棱长，b为三棱锥的底面边长。一般来说，三棱锥外切球心在四个面上的射影与四个面的外心重合，据此可确定球心位置，从而计算出顶点与球心的距离。

三棱锥的外接球半径公式的推导过程

设A-BCD是正三棱锥，侧棱长为a，底面边长为b，则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上.设高为AM，连接DM交BC于E，连接AE，然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O，则0就是外接球的球心，AO，DO是外接球的半径。

设AO=DO=R

则，DM=2/3DE=2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3

AM=根号(a^2-b^2/3)

OM=AM-A0=根号(a^2-b^2/3)-R

由DO^2=OM^2+DM^2得

R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2-b^2)。

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