自相关系数的性质
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对称性:从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数
当f为实函数时,有:
R_f(-tau) = R_f(tau)
当f是复函数时,该自相关函数是厄米函数,满足:
R_f(-tau) = R_f^*(tau)
其中星号表示共轭。
连续型实自相关函数的峰值在原点取得,即对于任何延时 τ,均有 |R_f(tau)| leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。
周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。
两个相互无关的函数(即对于所有 τ,两函数的互相关均为0)之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。
由于自相关函数是一种特殊的互相关函数,所以它具有后者的所有性质。
连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数,在除 τ = 0 之外的所有点均为0。
维纳-辛钦定理(Wiener–Khinchin theorem)表明,自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对:
R(tau) = int_{-infty}^infty S(f) e^{j 2 pi f tau} , df
S(f) = int_{-infty}^infty R(tau) e^{- j 2 pi f tau} , dtau.
实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数,因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式:
R(tau) = int_{-infty}^infty S(f) cos(2 pi f tau) , df
S(f) = int_{-infty}^infty R(tau) cos(2 pi f tau) , dtau.
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