不等式分析法是什么
2023-07-23 分类:百科
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对实数,在时,有成立
在时,有成立。
可以看到等号成立当且仅当,或时。
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
伯努利不等式的一般式为
(对于任意都有且,即所有同号且大于等于-1)当且仅当时等号成立
证明
设,且是不小于2的整数,则。
证明:
先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法:
当,上个式子成立
设对,有:成立。
则
就是对一切的自然数,当
有
下面把伯努利不等式推广到实数幂形式:
若或,有
若,有这个不等式可以直接通过微分进行证明,方法如下:
如果,则结论是显然的
如果,作辅助函数,那么,则
下面分情况讨论:
1、,则对于对于。严格递增,因此处取最大值0,故得。
2、,则对于对于。严格递减,因此处取最小值0,故得
证毕。
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