杨辉三角经典例题

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这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．

事实上，这个三角形给出了（a+b）^n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．

例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a+b）^2=a^2+2ab+b^2展开式中各项的系数第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a+b）^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3展开式中各项的系数等等。

通过杨辉三角，我们可以解决一些数学问题，比如涉及到找规律的问题和赋值法的使用。

例题1：

如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1=1，a2=2．a3=3，a4=3，a5=6，a6=4，a7=10，a8=5…，则a99+a100的值为（ ）

解：由图可得，第偶数项对应的数是一些连续的自然数，从2开始，第奇数项对应的数是一些连续的整数相加，从1开始

∴a99+a100=（1+2+3+…+50）+[（100÷2）+1]=1275+51=1326

例题2：

如图是中国宋代的“贾宪三角”又称“杨辉三角”，比欧洲的“帕斯卡三角”早近600年，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律．观察下列各式及其展开式，请猜想（a+b）^10展开式中所有项的系数和是（ ）

解：当n=1、2、3、4、…时，（a+b）n展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、…

由此可知（a+b）^n展开式的各项系数之和为2^n，所以（a+b）^10展开式中所有项的系数和是2^10=1024．

然后，看一下赋值法的使用：

分析：第1小问，观察式子可以发现，应该是a+b的5次方，并且a为2，b为-3，可以利用赋值法另a=2，b=-3，那么得到（2-3）的5次方，答案是-1

第2小问，分别另x=1和x=-1进行求解。

这就是赋值法的使用。

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