什么是Floquet定理

TIPS：本文共有 720 个字，阅读大概需要 2 分钟。

线性周期系统当中最重要的定理就是 Floquet定理。这个定理的意思是一个具有周期系数的线性常微分方程可以通过约化成为一个常系数的常微分方程。考虑方程：

x ˙ = A ( t ) x \dot{x}=A(t)x

x

˙

=A(t)x

其中A(t)关于t是T周期的。

首先可以证明对于方程的一个基解矩阵Φ ( t ) \Phi(t)Φ(t)，Φ ( t + T ) \Phi(t+T)Φ(t+T)也是方程的基解矩阵，于是存在一个常矩阵C满足Φ ( t + T ) = Φ ( t ) C \Phi(t+T)=\Phi(t)CΦ(t+T)=Φ(t)C，而且C可以表示成C = e B T C=e^{BT}C=e 

BT

B是一个常数矩阵。

令P ( t ) = Φ ( t ) e − B t P(t)=\Phi(t)e^{-Bt}P(t)=Φ(t)e 

−Bt

易知P(t)是T周期的。

下面做变量代换x = P ( t ) y x=P(t)yx=P(t)y，并将x代入原方程x ˙ = A ( t ) x \dot{x}=A(t)x 

x

˙

=A(t)x即可得到y ˙ = B y \dot{y}=By y˙ =By

至此，就将周期系数的线性方程约化为常系数方程。

Floquet定理具有非常重要的意义，因为它的高度概括性，使得它能应用在自然科学的很多领域，量子力学当中有这样一个结论：电子在一类周期势中运动时，其定态波函数总可以表示成一个平面波乘以适当的与势同周期的周期函数。在Floquet定理中正是Φ ( t ) = P ( t ) e − B T \Phi(t)=P(t)e^{-BT}Φ(t)=P(t)e 

−BT

如果觉得《什么是Floquet定理》对你有帮助，请点赞、收藏，并留下你的观点哦！