闭区间不连续会有界么

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不一定

无界的，比如y＝tanx

函数在闭区间上连续，函数的极限存在，函数在x0的某一邻域内有界。

反证法：

设函数f(x)在闭区间[a，b]连续，函数在[a，b]无界。

将[a，b]划分为[a，a+b/2][a+b/2，b]，设函数在[a，a+b/2]无界(函数不可能在两个闭区间有界)，设a=a1，a+b/2=b1。

将[a1，b1]划分为[a1，a1+b1/2][a1+b1/2，b1]，设函数在[a1，a1+b1/2]无界，设a1=a2。

a1+b1/2=b2。

....

得到{[an，bn]}。

f(x)在 {[an，bn]} 无界，∃ ξ ∈[an，bn]，且lim(n->∞)an=lim(n->∞)bn= ξ。

由于ξ ∈[an，bn]，即ξ ∈[a，b]，f(x)在ξ的某一邻域内极限存在，即∃常数M＞0和δ ＞0，使得当x∈U( ξ，δ)∩[a，b]成立时，有|f(x)|≤M。 (函数极限的局部有界性)

当n充分大时，[an，bn]∈U( ξ，δ)∩[a，b]，与假设矛盾。

所以函数f(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]有界。

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