基础数论四大定理
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1、威尔逊定理
当且仅当p为素数时:( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )
或者这么写( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p )
或者说若p为质数,则p能被(p-1)!+1整除
2、欧拉定理
欧拉定理,也称费马-欧拉定理
若n,a为正整数,且n,a互质,即gcd(a,n) = 1,则
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
3、孙子定理(中国剩余定理)
用现代数学的语言来说明的话,中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组
4、费马小定理
假如p是质数,若p不能整除a,则 a^(p-1) ≡1(mod p),若p能整除a,则a^(p-1) ≡0(mod p)。
或者说,若p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
顺便提一下,费马大定理:当整数n >2时,关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解
基础数论四大定理
威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理(中国剩余定理)、费马小定理。
数论是纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解(丢番图方程)。有些解析函数(像黎曼ζ函数)中包括了一些整数、质数的性质,透过这些函数也可以了解一些数论的问题。
透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系,并且用有理数来逼近实数(丢番图逼近)。
按研究方法来看,数论大致可分为初等数论和高等数论。
初等数论是用初等方法研究的数论,它的研究方法本质上说,就是利用整数环的整除性质,主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。
基础数论四大定理
威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理(中国剩余定理)、费马小定理并称数论四大定理。
威尔逊定理
概念
p可整除(p-1)!+1是p为质数的充要条件
证明
充分性
如果p不是素数
当p=4时,显然(p-1)!≡6≡2(mod p)
当p>4时,若p不是完全平方数,则存在两个不等的因数a,b使得ab=p
则(p-1)!≡nab≡0(mod p)
若p是完全平方数即p=k^2,因为p>4,所以k>2,k,2k<p
(p-1)!≡n(k*2k)≡n'k^2≡0(mod p)。
必要性
若p是素数,取集合 A={1,2,3,...p -1} 则A 构成模p乘法的缩系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得:( i j ) ≡ 1 ( mod p )
那么A中的元素是不是恰好两两配对呢?
不一定,但只需考虑这种情况x^2 ≡ 1 ( mod p )
解得: x ≡ 1 ( mod p ) 或 x ≡ p - 1 ( mod p )
其余两两配对故而( p - 1 )! ≡ 1﹡( p -1 ) ≡ -1 ( mod p )
欧拉定理
概念
欧拉定理,也称费马-欧拉定理。
若n,a为正整数,且n,a互素,即gcd(a,n) = 1,则
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
证明
设x(1),x(2),...,x(φ(n))是一个以n为模的缩系
则ax(1),ax(2),...,ax(φ(n) )也是一个以n为模的缩系(因为(a,n)=1)。
于是有ax(1)ax(2)...ax(φ(n) )≡x(1)x(2)...x(φ(n))(mod n)
所以a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。证毕。
孙子定理
概念
孙子定理,又称中国剩余定理。
中国剩余定理说明:假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质,则对任意的整数:a1,a2, ... ,an,方程组S有解,并可构造得出。构造详见词条“中国剩余定理”。
证明
将构造结果代入验证即可。
费马小定理
概念
假如p是质数,若p不能整除a,则 a^(p-1) ≡1(mod p),若p能整除a,则a^(p-1) ≡0(mod p)。
若p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
证明
因为p是质数,且(a,p)=1,所以φ(p)=p-1。
由欧拉定理可得a^(p-1) ≡1(mod p)。证毕。
对于该式又有a^p ≡a(mod p),而且此式不需要(a,p)=1
所以,费马小定理的另一种表述为:假如p是质数,a是整数,那么a^p ≡a(mod p)。
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